科学计算 on Dapeng Zhang

Python 入门基础知识 - 科学计算 - 矩阵运算和解线性方程

Mon, 28 Jul 2025 17:06:06 +0800

矩阵运算和解线性方程

使用SciPy可以完成矩阵分解、线性方程组求解和多项式求根等数学运算。SciPy中提供的函数名与MATLAB中的函数名大部分相同，用法也差不多。熟悉SciPy的学者可以很快熟悉SciPy。

矩阵运算

除了基本的矩阵乘除运算以外，还可以使用SciPy做矩阵分解运算、求逆运算等。SciPy中的linalg模块提供了和线性代数相关的函数，可以用于对矩阵进行运算。常用的linalg模块中常用的函数如下

inv 求解矩阵的逆

det 求解方阵的行列式

norm 求解向量的模

lstsq 求最小二乘法解

eig 求解特征值和特征向量

orth 求解矩阵的标准正交集

lu 矩阵的LU分解

qr 矩阵的QR分解

cholesky 矩阵的Cholesky分解

如下实例演示，在Python的交互式命令行中使用SciPy中的linalg模块对矩阵进行运算。

>>> import scipy # 导入SciPy模块
>>> from scipy import linalg 导入linalg模块
>>> a = scipy.mat('[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]') 生成矩阵
>>> a
matrix([[1, 2, 3],
 [2, 2, 1],
 [3, 4, 3]])
>>> b = linalg.inv(a) # 求a的逆矩阵
>>> b
array([[ 1. , 3. , -2. ],
 [-1.5, -3. , 2.5],
 [ 1. , 1. , -1. ]])
>>> a * b # 求a * b ，有误差，应为对角矩阵
matrix([[ 1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00],
 [ -2.22044605e-16, 1.00000000e+00, 4.44089210e-16],
 [ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]])
>>> linalg.det(a) # 求a的行列式值，有误差，应为2
1.9999999999999996
>>> a = scipy.mat('[1 2 3]')
>>> linalg.norm(a) # 求a的模
3.7416573867739413
>>> a = scipy.mat('[1 -1; -1 1; 2 -2; -3 1]') # 建立系数矩阵
>>> a # 检验系数矩阵
matrix([[ 1, -1],
 [-1, 1],
 [ 2, -2],
 [-3, 1]])
>>> b = scipy.mat('[1;2;3;4]') # 建立常数项向量
>>> b
matrix([[1],
 [2],
 [3],
 [4]])
>>> x,y,z,w = linalg.lstsq(a, b) # 求最小二乘法解
>>> x # x为解
array([[-2.41666667],
 [-3.25 ]])
>>> y
array([ 9.83333333])
>>> z
2
>>> w
array([ 4.56605495, 1.07291295])
>>> a = scipy.mat('[-1 1 0; -4 3 0; 1 0 2]')
>>> a
matrix([[-1, 1, 0],
 [-4, 3, 0],
 [ 1, 0, 2]])
>>> x,y = linalg.eig(a) # 求a的特征值
>>> x
array([ 2.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j]) # a的特征值
>>> y # a的特征向量
array([[ 0. , 0.40824829, 0.40824829],
 [ 0. , 0.81649658, 0.81649658],
 [ 1. , -0.40824829, -0.40824829]])
>>> a = scipy.mat('[]1 2 3; 0 1 2; 2 4 1')
>>> a
matrix([[1, 2, 3],
 [0, 1, 2],
 [2, 4, 1]])
>>> x,y,z = linalg.lu(a) # 求a的LU分解
>>> x
array([[ 0., 0., 1.],
 [ 0., 1., 0.],
 [ 1., 0., 0.]])
>>> y # L矩阵
array([[ 1. , 0. , 0. ],
 [ 0. , 1. , 0. ],
 [ 0.5, 0. , 1. ]])
>>> z # U矩阵
array([[ 2. , 4. , 1. ],
 [ 0. , 1. , 2. ],
 [ 0. , 0. , 2.5]])
>>> a = scipy.mat('[16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22]')
>>> a
matrix([[16, 4, 8],
 [ 4, 5, -4],
 [ 8, -4, 22]])
>>> linalg.cholesky(a) # 求a的Cholesky分解
array([[ 4., 1., 2.],
 [ 0., 2., -3.],
 [ 0., 0., 3.]])

SciPy中的linalg提供了基本的解线性方程组的函数，只要给出方程的系数矩阵和常数项向量，就可以获得方程组的解。对于非线性方程组可以采用数值解法。linalg模块中的solve函数可以用于解线性方程组，有如下所示的方程组

2X1 + X2 - 5X3 + X4 = 8

X1 - 3X2 - 6X4 = 9

2X2 - X3 + 2X4 = -5

X1 + 4X2 - 7X3 + 6X4 = 0

代码实现演示如下，在Python命令行中，使用linalg模块中的solve函数解上述线性方程组

>>> import scipy
>>> from scipy import linalg
>>> a = scipy.mat('[2 1 -5 1; 1 3 0 -6; 0 2 -1 2;1 4 -7 6]') # 建立系数矩阵
>>> a
matrix([[ 2, 1, -5, 1],
 [ 1, 3, 0, -6],
 [ 0, 2, -1, 2],
 [ 1, 4, -7, 6]])
>>> b = scipy.mat('[8;9;-5;0]') # 建立常数项向量
>>> b
matrix([[ 8],
 [ 9],
 [-5],
 [ 0]])
>>> linalg.solve(a, b)
array([[-3.26086957],
 [-1.56521739],
 [-3.7826087 ],
 [-2.82608696]])

运行实例环境

# _*_ coding: utf-8 -*-
# version 2.7.13

Python 入门基础知识 - 科学计算 - NumPy和SciPy

Mon, 28 Jul 2025 17:06:02 +0800

科学计算

科学计算是计算机应用的主要内容之一。开源软件Scilab和商业软件MATLAB都是以科学计算为主的应用软件。使用Python同样可以进行矩阵运算、数值分析等。

NumPy和SciPy简介

NumPy和SciPy是Python中用以实现科学计算的模块包。NumPy主要提供了数组对象、基本的数组函数和傅里叶变换的相关函数。SciPy依赖于NumPy，SciPy提供了更多的计算工具，例如绘制图形等。

1、安装NumPy和SciPy

执行下面的命令安装NumPy

pip install numpy

执行下面命令安装SciPy

pip install scipy

2、NumPy的使用简介

NumPy提供了Python没有提供的数组对象。使用NumPy的数组对象可以创建类似于C语言中的数组。使用NumPy时首先应导入NumPy模块。如下实例，在Python交互式命令行中使用NumPy创建数组，并对数组进行简单的运算。

>>> import numpy # 导入NumPy模块
>>> a = numpy.array((1,2,3,4,5)) # 生成一个数组对象
>>> print(a) # 打印数组a
[1 2 3 4 5]
>>> b = numpy.array(([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9])) # 生成数组对象b
>>> print(b)
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
>>> c = b + b # 数组对象的加法运算
>>> print(c)
[[ 2 4 6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]
>>> d = c * 2 # 数组对象的乘法运算
>>> print(d)
[[ 4 8 12]
 [16 20 24]
 [28 32 36]]
>>> e = d / c # 数组对象的除法运算
>>> print(e)
[[2 2 2]
 [2 2 2]
 [2 2 2]]
>>> print(b * e) # 数组相乘
[[ 2 4 6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]
>>> numpy.sin(b) # 求正弦
array([[ 0.84147098, 0.90929743, 0.14112001],
 [-0.7568025 , -0.95892427, -0.2794155 ],
 [ 0.6569866 , 0.98935825, 0.41211849]])
>>> numpy.tan(b) # 求正切
array([[ 1.55740772, -2.18503986, -0.14254654],
 [ 1.15782128, -3.38051501, -0.29100619],
 [ 0.87144798, -6.79971146, -0.45231566]])
>>> numpy.resize(b, [2,2]) # 重新调整b的大小，生成新的数组
array([[1, 2],
 [3, 4]])
>>> numpy.resize(b, [3,4]) # 重新调整b的大小
array([[1, 2, 3, 4],
 [5, 6, 7, 8],
 [9, 1, 2, 3]])
>>> numpy.sum(b) # 求b中所有元素的和
45
>>> zero = numpy.zeros((4,4)) # 生成一个4*4的全为0的数组
>>> print(zero)
[[0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0.]]
>>> one = numpy.ones((4,4)) # 生成一个4*4的全为1的数组
>>> print(one)
[[1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1.]]

3、SciPy的使用简介

SciPy模块依赖于NumPy，但是SciPy提供了更多的数学工具。使用SciPy不仅可以进行矩阵运算，还可以求解线性方程、进行微积分运算、优化等。SciPy的功能非常接近MATLAB，如下实例，在Python交互式命令行中使用SciPy。

>>> import scipy # 导入scipy模块
>>> a = scipy.mat('[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]') # 生成一个矩阵
>>> print(a)
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
>>> a
matrix([[1, 2, 3],
 [4, 5, 6],
 [7, 8, 9]])
>>> a * 2 # 矩阵乘以2
matrix([[ 2, 4, 6],
 [ 8, 10, 12],
 [14, 16, 18]])
>>> 0.5 * a # 0.5乘以矩阵a
matrix([[ 0.5, 1. , 1.5],
 [ 2. , 2.5, 3. ],
 [ 3.5, 4. , 4.5]])
>>> b = scipy.mat('[1;2;3]') # 生成矩阵
>>> print(b) # 输出矩阵
[[1]
 [2]
 [3]]
>>> b
matrix([[1],
 [2],
 [3]])
>>> a * b # 矩阵相乘
matrix([[14],
 [32],
 [50]])
>>> scipy.sin(a) # 求正弦
matrix([[ 0.84147098, 0.90929743, 0.14112001],
 [-0.7568025 , -0.95892427, -0.2794155 ],
 [ 0.6569866 , 0.98935825, 0.41211849]])
>>> scipy.tan(a) # 求正切
matrix([[ 1.55740772, -2.18503986, -0.14254654],
 [ 1.15782128, -3.38051501, -0.29100619],
 [ 0.87144798, -6.79971146, -0.45231566]])
>>> scipy.resize(a, (4,4)) # 重新调整举证大小 4*4
array([[1, 2, 3, 4],
 [5, 6, 7, 8],
 [9, 1, 2, 3],
 [4, 5, 6, 7]])
>>> v = scipy.vander((1,6)) # 生成Vandermonde矩阵
>>> print(v)
[[1 1]
 [6 1]]
>>> v
array([[1, 1],
 [6, 1]])
>>> scipy.diff(v) # 差分运算
array([[ 0],
 [-5]])
>>>
>>> from scipy import integrate # 导入integrate模块
>>> integrate.quad(lambda x: 2*x, 0, 6) # 求积分 
(36.0, 3.9968028886505635e-13)
>>> integrate.quad(lambda x: 1/(1 + x ** 2), 0, 1) # 求积分
(0.7853981633974484, 8.719671245021581e-15)